2 - Perímetro e Área

O perímetro é a medida do comprimento de um contorno qualquer em um plano. Esse plano pode ser o plano cartesiano e, se tanto o eixo x como o eixo y forem dados em metros, é claro que a soma de diversos lados de um contorno nesse plano dará um resultado cuja unidade é o metro.

O perímetro (P) de um contorno qualquer determina a área (A) do contorno considerado. A área é a medida de uma superfície contida por um contorno em um plano. Exemplos:

1)    Quadrado de lado a:

       Perímetro (P) = 4 . a ;  Área (A) = a²

Nota 1: A razão pela qual a unidade de área é m² reside no fato de que, no exemplo em questão, para obtermos a área, fazemos a seguinte operação, com os números e com as unidades, assim, considerando que o lado a do quadrado vale 5 m, temos:

Área do quadrado = 5 m x 5 m = 25 m x m = 25 m²

2)    Retângulo de lados a e b:

Perímetro (P) = 2.a + 2.b ;   Área = a . b

Se a = 3 m e b = 4 m, temos: P = 2 . 3 + 2 . 4 = 6 + 8 = 14 m   e  A = 3 . 4 = 12 m²

3)    Triângulo Retângulo de lados a e b e hipotenusa c:

Se traçarmos uma diagonal no retângulo da figura anterior, teremos a seguinte figura:

Nessa figura, vemos que a diagonal traçada dividiu o retângulo em duas partes iguais.

Cada uma dessas partes é um triângulo retângulo, onde, segundo o Teorema de Pitágoras, a e b são os catetos e c é a hipotenusa.

Se considerarmos a = 3 m e b = 4 m, temos, pelo Teorema de Pitágoras, que:

c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 m   →  Portanto, c = 5 m

Desta forma, o Perímetro (P) do Triângulo Retângulo é: a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12 m

Como vimos acima, a área do Triângulo Retângulo é a metade da área do Retângulo de lados a e b. Assim, podemos escrever que a área do Triângulo Retângulo é:

A_Triângulo = A_Retângulo / 2 = (a . b) / 2 = (3 . 4) / 2 = 6 m²

Nota 2: Sabe-se que a área de um triângulo é igual ao produto da Base pela Altura, dividido por 2, e isso está de acordo com o resultado acima, ou seja, se considerarmos a Base = b e a Altura = a, temos:

A_Triângulo = (Base . Altura) / 2 = (a . b) / 2 = (3 . 4) / 2 = 6 m²

A igualdade nos cálculos feitos pelas duas formas vistas acima, deve-se ao fato de que a Base e a Altura do triângulo em questão, correspondem aos lados do Retângulo.

4)    Polígono qualquer:

O perímetro desse polígono é obtido pela soma de todas as arestas, ou seja:

P = a + b + c + d + e + f + g + h + i + j = 5 + 3 + 10 + 9 + 7 + 3 + (15 - (4 + 7)) + 3 + 4 + 12

P = 60 m

A área do polígono requer um pouco mais de trabalho.

Podemos, inicialmente, pensar em subdividir a superfície em pequenas unidades de área mínima e unitária, conforme mostra a figura seguinte:

Note que cada pequena unidade de área tem uma área de 1 m², pois são quadrados de 1 m de lado. Deste modo, a área total é a soma de todas as área mínimas obtidas pelo processo acima. Esse processo é muito trabalhoso, mas podemos aproveitar o fato de que concluímos que uma determinada área pode ser considerada como a soma de pequenas áreas que compõem o total da superfície considerada. Assim, podemos pensar na figura seguinte:

Deste modo, a área total que procuramos é a soma das áreas dos retângulos verde, amarelo, laranja e azul.

Área do retângulo verde = a x b = 5 x 3 = 15 m²

Área do retângulo laranja = i x h = 4 x 3 = 12 m²

Área do retângulo azul = f x e = 3 x 7 = 21 m²

Área do retângulo amarelo = (j - b - h) x (a + c) = (12 - 3 - 3) x (5 + 10) = 6 x 15 = 90 m²

Portanto, a área total é A = 15 + 12 + 21 + 90 = 138 m²

Uma outra solução possível é através da subtração de áreas, considerando a figura abaixo:

Nessa figura, a área que nos interessa é a área amarela. Podemos, então, pensar que essa área é igual à área do retângulo grande, menos as áreas dos retângulos azul e violeta;

Área do retângulo grande = (b + d) x (a + c) = (3 + 9) x (5 + 10) = 12 x 15 = 180 m²

Área do retângulo azul = f x (a + c - i - e) = 3 x (5 + 10 - 4 - 7) = 3 x 4 = 12 m²

Área do retângulo violeta = b x c = 3 x 10 = 30 m²

       Portanto, a área procurada é: A = 180 - 12 - 30 = 138 m²

autor: Caetano