1 - Plano Cartesiano

Um Plano Cartesiano é formado por dois eixos perpendiculares entre si. O eixo horizontal é chamado de abscissa e o eixo vertical é chamado de ordenada.

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O Plano Cartesiano tem esse nome em homenagem ao seu criador, o Matemático René Descartes e é conhecido, também, como Sistema de Coordenadas Cartesianas. Ele tem a função de localizar pontos em um plano formado pelos dois eixos, através das coordenadas desses pontos. O ponto onde os dois eixos se cruzam é chamado de origem das coordenadas. O eixo horizontal (abscissa) também é conhecido como eixo x, enquanto o eixo vertical é conhecido como eixo y.

Para a localização de pontos em função de suas coordenadas, precisamos dividir os eixos em divisões e associar números a essas divisões, da seguinte forma:

  A origem do Plano Cartesiano é o ponto zero tanto do eixo das abscissas quanto do eixo das ordenadas;
O eixo horizontal (abscissa, ou x) é numerado com números positivos, em ordem crescente, à direita da origem, e com números negativos decrescentes à esquerda da origem;
O eixo vertical (ordenada, ou y) é numerado com números positivos, em ordem crescente, acima da origem, e com números negativos decrescentes abaixo da origem.

Alternativamente, podemos representar o Plano Cartesiano de forma quadriculada, o que pode ajudar na localização exata de pontos, como veremos adiante.

A maneira como iremos representar pontos no Plano Cartesiano é familiar a muitos de nós, muito antes de conhecermos este Sistema de Coordenadas. De fato, muitos já brincaram com um jogo chamado batalha naval, não é mesmo? Um exemplo desse jogo é visto na figura seguinte, a qual mostra que na "casa" d5 temos um submarino, que é representado por um único quadrado. A diferença é que, na batalha naval, d5 representa uma casa e, no Plano Cartesiano, estaremos interessados em localizar pontos. No exemplo da batalha naval, d5 é uma coordenada similar àquelas que iremos estudar no Plano Cartesiano. Note que d representa o eixo horizontal e 5 representa o eixo vertical. Assim, o cruzamento da horizontal d com a vertical 5 nos mostra a casa d5 do nosso jogo.

De forma similar, no Plano Cartesiano, as coordenadas cartesianas são representadas por pares do tipo (x , y), que são chamados de pares ordenados. Essa forma de representação indica que o primeiro número refere-se ao eixo das abscissas (horizontal), e o segundo refere-se ao eixo das ordenadas (vertical).  

Exemplos:

Ponto A (3 , 5) → x = 3 ; y = 5
Ponto B (6 , 3) → x = 6 ; y = 3
Ponto C (-4 , -3) → x = -4 ; y = -3
Ponto D (-6 , 7) → x = -6 ; y = 7
Ponto E (4 , -6) → x = 4 ; y = -6
Ponto F (-5 , -7) → x = -5 ; y = -7

Um conceito importante, relacionado ao Plano Cartesiano é o de Quadrantes. Observamos que os eixos x e y dividem o plano em 4 regiões distintas, numeradas no sentido anti-horário, conforme mostra a figura seguinte.

Se analisarmos cuidadosamente essa figura, perceberemos que:

No 1º Quadrante temos sempre x > 0 e y > 0

No 2º Quadrante temos sempre x < 0 e y > 0

No 3º Quadrante temos sempre x < 0 e y < 0

No 4º Quadrante temos sempre x > 0 e y < 0

Com isso, pelo simples conhecimento de uma coordenada (x , y), podemos saber de antemão a que quadrante esse ponto pertence.

Exemplos:

Ponto 1: (3 , 5) pertence ao 1º Quadrante

Ponto 2: (-3 , -1) pertence ao 3º Quadrante

O Plano Cartesiano é muito utilizado na construção de gráficos de funções, onde os valores relacionados à x constituem o domínio e os valores de y, a imagem da função. A criação do Sistema de Coordenadas Cartesianas é considerada uma ferramenta muito importante na Matemática, facilitando a observação do comportamento de funções em alguns pontos considerados críticos.

Podemos associar o Plano Cartesiano com a latitude e a longitude, temas relacionados aos estudos geográficos e à criação do atual sistema de posicionamento, o GPS. O Sistema de Posicionamento Global permite que saibamos nossa localização exata na terra, desde que tenhamos em mão um receptor de sinais GPS, informando a latitude, a longitude e a altitude com o auxilio de satélites em órbita da Terra. Um exemplo de utilização do GPS são os aviões, que para não se colidirem são monitorados e informados em qual rota devem seguir viagem.

autor: Caetano