3 - Conversão de Unidades de Medidas

Unidades de Comprimento

É comum, na Física, que o enunciado de um problema contenha grandezas em uma determinada medida, mas que tenhamos que converter essa medida em uma outra, para que possamos resolver o problema. A unidade de comprimento mais utilizada é o metro, mas, muitas vezes, encontramos o quilômetro, para descrevermos grandes distâncias e o centímetro e o milímetro, para descrevermos distâncias pequenas.

Os múltiplos do metro são o quilômetro, o hectômetro e o decâmetro, enquanto seus submúltiplos são o decímetro, o centímetro e o milímetro.

Na tabela abaixo, vemos as unidades de comprimento do sistema métrico decimal, seus símbolos e o valor correspondente em metro, Observando a tabela, vemos que cada unidade de comprimento corresponde a 10 vezes a unidade de comprimento imediatamente inferior (à direita). Como consequência, observamos, também, que cada unidade de comprimento corresponde a 1 décimo da unidade imediatamente superior (à esquerda), ou seja, 0,1 vezes.

Regras de Conversão:

1)    Conversão de uma unidade para outra imediatamente inferior: multiplicar por 10.

Exemplos: 35 cm = 350 mm; 1,28 m = 128 cm = 1280 mm

Nota: na conversão de 1 m para milímetros, a conversão ocorre para 3 unidades inferiores e, por isso, aplicando a regra, multiplicamos três vezes por 10.

2)  Conversão de uma unidade para outra imediatamente superior: dividir por 10, que equivale a multiplicar por 0,1.

Exemplos: 155 mm = 15,5 cm; 325 m = 0,325 Km

Nota: na conversão de 325 m para Km, a conversão ocorre para 3 unidades superiores e, por isso, aplicando a regra, dividimos três vezes por 10;

Unidades de Área

Regras de Conversão:

1)    Conversão de uma unidade para outra imediatamente inferior: multiplicar por 100.

Exemplos: 35 cm² = 3500 mm²; 1,5 m² = 150.000 cm² = 15.000.000 mm²

Nota: na conversão de 1,5 m² para mm², a conversão ocorre para 3 unidades inferiores e, por isso, aplicando a regra, multiplicamos três vezes por 100.

2)    Conversão de uma unidade para outra imediatamente superior: dividir por 100, que equivale a multiplicar por 0,01.

Exemplos: 155 mm² = 1,55 cm²; 325 m² = 0,000325 Km²

Nota: na conversão de 325 m² para Km², a conversão ocorre para 3 unidades superiores e, por isso, aplicando a regra, dividimos três vezes por 100, que equivale a multiplicar por 0,000001.

Unidades de Volume

Regras de Conversão:

1)    Conversão de uma unidade para outra imediatamente inferior: multiplicar por 1000.

Exemplos: 35 cm³ = 35.000 mm³; 1,5 m³ = 1.500.000 cm³ = 1.500.000.000 mm³

Nota: na conversão de 1,5 m³ para mm³, a conversão ocorre para 3 unidades inferiores e, por isso, aplicando a regra, multiplicamos três vezes por 1000.

2)    Conversão de uma unidade para outra imediatamente superior: dividir por 1000, que equivale a multiplicar por 0,001.

Exemplos: 155 mm³ = 0,155 cm³; 325 m³ = 0,000000325 Km³

Nota: na conversão de 325 m³ para Km³, a conversão ocorre para 3 unidades superiores e, por isso, aplicando a regra, dividimos três vezes por 1000, que equivale a multiplicar por 0,000000001.

Observações:

1)    Como vemos pelos exemplo acima, muitas vezes, é conveniente representar números, muito grandes ou muito pequenos, em potências de 10. Exemplos:

·         0,000000325 Km³ = 3,25 . 10^-7 Km³

Veja que o valor do expoente é obtido pelo número de casas que a vírgula se deslocou da primeira representação para a segunda representação. Se o deslocamento for para a direita, o expoente é negativo e, se for para a esquerda, o expoente é positivo.

·         1.500.000.000 mm³ = 1,5 . 10⁹ mm³

2)    Como regra geral, para passarmos de uma unidade de medida a outra, precisamos levar em conta quantas unidades de medida existem entre a medida original e a medida final que desejamos obter. A partir daí, a diferença está no tipo de medida, conforme exemplificado abaixo:

·         Unidade de comprimento:

Ø  Converter 3580 mm em m: Entre a unidade mm e a unidade m há 3 unidades de separação (centímetro, decímetro e metro) para a esquerda. Portanto, devemos deslocar a vírgula do número original 3 vezes para a esquerda e, assim, obtemos: 3580 mm = 3,58 m

Nota: levar em conta que 3580 é igual a 3580,0 e, portanto, quando um número não é apresentado com vírgula, é porque há apenas zero após a vírgula e, deste modo, não é preciso representá-la, mas devemos considerar que essa é a posição da vírgula, para todos os efeitos.

Ø  Converter 3,58 m em milímetros: Há 3 unidades entre o m e o mm (decímetro, centímetro e milímetro) e, assim, devemos deslocar a vírgula 3 casas para a direita e obtemos: 3,58 m = 3580 mm

·         Unidade de área:

Valem as mesmas regras do caso anterior, com a diferença de que deve haver 2 deslocamentos da vírgula para cada unidade de separação entre a unidade original e a unidade final que queremos obter:

Ø  Converter 8600 cm² em m²: Entre a unidade cm² e a unidade m² há 2 unidades de separação (decímetro e metro) para a esquerda. Portanto, devemos deslocar a vírgula do número original 2 x 2 = 4 vezes para a esquerda e, assim, obtemos: 8600 cm² = 0,86 m²:

Ø  Converter 4,75 km² em m²: Há 3 unidades entre o km² e o m² (hectômetro quadrado, decâmetro quadrado e metro quadrado) e, assim, devemos deslocar a vírgula 3 x 2 = 6 casas para a direita e obtemos: 4,75 km² = 4.750.000 m²:

·         Unidade de volume:

Valem as mesmas regras dos casos anteriores, com a diferença de que deve haver 3 deslocamentos da vírgula para cada unidade de separação entre a unidade original e a unidade final que queremos obter:

Ø  Converter 86.000 cm³ em m³: Entre a unidade cm³ e a unidade m³ há 2 unidades de separação (decímetro cúbico e metro cúbico) para a esquerda. Portanto, devemos deslocar a vírgula do número original 2 x 3 = 6 vezes para a esquerda e, assim, obtemos: 8600 cm² = 0,0086 m²:

Ø  Converter 4,75 m³ em dm³: Há 1 unidade de separação entre o m³ e 0 dm³: e, assim, devemos deslocar a vírgula 1 x 3 = 3 casas para a direita e obtemos: 4,75 m³ = 4750 dm³.

O Sistema Internacional de Unidades

Você já deve ter ouvido falar, na disciplina de Física, no Sistema Internacional de Unidades (SI), que é uma padronização das diversas unidades de medida, na maioria dos países, de forma a facilitar a comunicação, principalmente nos meios científicos e comerciais. Há 7 unidades fundamentais de unidades de medida, e o metro, visto acima, é a unidade padrão de comprimento do SI, assim como o quilograma (kg) é a unidade padrão de massa e o segundo (s) é a unidade padrão de Tempo. Cada unidade fundamental, como já visto, possui múltiplos e submúltiplos os quais são expressos através da adição de um prefixo ao nome da unidade principal, de acordo com a proporção da medida.

Na figura acima, vemos uma unidade com a qual você deve estar familiarizado, que é o bit. O bit é a menor quantidade de informação que pode ser transmitida e, portanto, ela não pode ser subdividida. Sendo assim, não existem submúltiplos do bit. Mas você, certamente, já ouviu falar em Megabits ou Gigabits. Normalmente, esses múltiplos do bit estão associadas à velocidade de transmissão. Por exemplo, a velocidade da internet, que pode ir de alguns kbits/s até alguns Mbits/s. Por outro lado, o byte é o que se chama de tamanho de uma "palavra", em linguagem computacional, e que é composta de 8 bits, servindo para especificar o tamanho ou quantidade da memória ou da capacidade de armazenamento de um dispositivo, independentemente do tipo de dados. Para ele, também, valem os múltiplos KB, MB, GB e TB. Note que, para diferenciar do bit, a abreviação de byte é sempre com o b escrito em letra maiúscula. Em tempo, vale lembrar que, muitas vezes, ouvimos pessoas falarem em "Gigas", no plural. Mas os prefixos nunca vão para o plural. Não existe Gigasbit ou Gigasbyte. O quê existe é Gigabits e Gigabytes, respectivamente.

Para maiores informações a respeito do Sistema Internacional de Unidades, acesse o site https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidades

Por fim, uma observação a respeito da unidade de volume denominada Litro ( l ). A unidade de volume do SI é o m³ e, deste modo, sempre que problemas de Física pedirem que os resultados sejam fornecidos em unidades do SI, o m³ deverá ser usado. Para a conversão, basta saber que 1 litro equivale a 1 dm³. Mas, 1 dm³ é igual a 0,001 m³.   

Exemplo: 250 litros = 250 x 0,001 m³ = 0,25 m³

autor: Caetano 

2 - Perímetro e Área

O perímetro é a medida do comprimento de um contorno qualquer em um plano. Esse plano pode ser o plano cartesiano e, se tanto o eixo x como o eixo y forem dados em metros, é claro que a soma de diversos lados de um contorno nesse plano dará um resultado cuja unidade é o metro.

O perímetro (P) de um contorno qualquer determina a área (A) do contorno considerado. A área é a medida de uma superfície contida por um contorno em um plano. Exemplos:

1)    Quadrado de lado a:

       Perímetro (P) = 4 . a ;  Área (A) = a²

Nota 1: A razão pela qual a unidade de área é m² reside no fato de que, no exemplo em questão, para obtermos a área, fazemos a seguinte operação, com os números e com as unidades, assim, considerando que o lado a do quadrado vale 5 m, temos:

Área do quadrado = 5 m x 5 m = 25 m x m = 25 m²

2)    Retângulo de lados a e b:

Perímetro (P) = 2.a + 2.b ;   Área = a . b

Se a = 3 m e b = 4 m, temos: P = 2 . 3 + 2 . 4 = 6 + 8 = 14 m   e  A = 3 . 4 = 12 m²

3)    Triângulo Retângulo de lados a e b e hipotenusa c:

Se traçarmos uma diagonal no retângulo da figura anterior, teremos a seguinte figura:

Nessa figura, vemos que a diagonal traçada dividiu o retângulo em duas partes iguais.

Cada uma dessas partes é um triângulo retângulo, onde, segundo o Teorema de Pitágoras, a e b são os catetos e c é a hipotenusa.

Se considerarmos a = 3 m e b = 4 m, temos, pelo Teorema de Pitágoras, que:

c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 m   →  Portanto, c = 5 m

Desta forma, o Perímetro (P) do Triângulo Retângulo é: a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12 m

Como vimos acima, a área do Triângulo Retângulo é a metade da área do Retângulo de lados a e b. Assim, podemos escrever que a área do Triângulo Retângulo é:

A_Triângulo = A_Retângulo / 2 = (a . b) / 2 = (3 . 4) / 2 = 6 m²

Nota 2: Sabe-se que a área de um triângulo é igual ao produto da Base pela Altura, dividido por 2, e isso está de acordo com o resultado acima, ou seja, se considerarmos a Base = b e a Altura = a, temos:

A_Triângulo = (Base . Altura) / 2 = (a . b) / 2 = (3 . 4) / 2 = 6 m²

A igualdade nos cálculos feitos pelas duas formas vistas acima, deve-se ao fato de que a Base e a Altura do triângulo em questão, correspondem aos lados do Retângulo.

4)    Polígono qualquer:

O perímetro desse polígono é obtido pela soma de todas as arestas, ou seja:

P = a + b + c + d + e + f + g + h + i + j = 5 + 3 + 10 + 9 + 7 + 3 + (15 - (4 + 7)) + 3 + 4 + 12

P = 60 m

A área do polígono requer um pouco mais de trabalho.

Podemos, inicialmente, pensar em subdividir a superfície em pequenas unidades de área mínima e unitária, conforme mostra a figura seguinte:

Note que cada pequena unidade de área tem uma área de 1 m², pois são quadrados de 1 m de lado. Deste modo, a área total é a soma de todas as área mínimas obtidas pelo processo acima. Esse processo é muito trabalhoso, mas podemos aproveitar o fato de que concluímos que uma determinada área pode ser considerada como a soma de pequenas áreas que compõem o total da superfície considerada. Assim, podemos pensar na figura seguinte:

Deste modo, a área total que procuramos é a soma das áreas dos retângulos verde, amarelo, laranja e azul.

Área do retângulo verde = a x b = 5 x 3 = 15 m²

Área do retângulo laranja = i x h = 4 x 3 = 12 m²

Área do retângulo azul = f x e = 3 x 7 = 21 m²

Área do retângulo amarelo = (j - b - h) x (a + c) = (12 - 3 - 3) x (5 + 10) = 6 x 15 = 90 m²

Portanto, a área total é A = 15 + 12 + 21 + 90 = 138 m²

Uma outra solução possível é através da subtração de áreas, considerando a figura abaixo:

Nessa figura, a área que nos interessa é a área amarela. Podemos, então, pensar que essa área é igual à área do retângulo grande, menos as áreas dos retângulos azul e violeta;

Área do retângulo grande = (b + d) x (a + c) = (3 + 9) x (5 + 10) = 12 x 15 = 180 m²

Área do retângulo azul = f x (a + c - i - e) = 3 x (5 + 10 - 4 - 7) = 3 x 4 = 12 m²

Área do retângulo violeta = b x c = 3 x 10 = 30 m²

       Portanto, a área procurada é: A = 180 - 12 - 30 = 138 m²

autor: Caetano

1 - Plano Cartesiano

Um Plano Cartesiano é formado por dois eixos perpendiculares entre si. O eixo horizontal é chamado de abscissa e o eixo vertical é chamado de ordenada.

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O Plano Cartesiano tem esse nome em homenagem ao seu criador, o Matemático René Descartes e é conhecido, também, como Sistema de Coordenadas Cartesianas. Ele tem a função de localizar pontos em um plano formado pelos dois eixos, através das coordenadas desses pontos. O ponto onde os dois eixos se cruzam é chamado de origem das coordenadas. O eixo horizontal (abscissa) também é conhecido como eixo x, enquanto o eixo vertical é conhecido como eixo y.

Para a localização de pontos em função de suas coordenadas, precisamos dividir os eixos em divisões e associar números a essas divisões, da seguinte forma:

  A origem do Plano Cartesiano é o ponto zero tanto do eixo das abscissas quanto do eixo das ordenadas;
O eixo horizontal (abscissa, ou x) é numerado com números positivos, em ordem crescente, à direita da origem, e com números negativos decrescentes à esquerda da origem;
O eixo vertical (ordenada, ou y) é numerado com números positivos, em ordem crescente, acima da origem, e com números negativos decrescentes abaixo da origem.

Alternativamente, podemos representar o Plano Cartesiano de forma quadriculada, o que pode ajudar na localização exata de pontos, como veremos adiante.

A maneira como iremos representar pontos no Plano Cartesiano é familiar a muitos de nós, muito antes de conhecermos este Sistema de Coordenadas. De fato, muitos já brincaram com um jogo chamado batalha naval, não é mesmo? Um exemplo desse jogo é visto na figura seguinte, a qual mostra que na "casa" d5 temos um submarino, que é representado por um único quadrado. A diferença é que, na batalha naval, d5 representa uma casa e, no Plano Cartesiano, estaremos interessados em localizar pontos. No exemplo da batalha naval, d5 é uma coordenada similar àquelas que iremos estudar no Plano Cartesiano. Note que d representa o eixo horizontal e 5 representa o eixo vertical. Assim, o cruzamento da horizontal d com a vertical 5 nos mostra a casa d5 do nosso jogo.

De forma similar, no Plano Cartesiano, as coordenadas cartesianas são representadas por pares do tipo (x , y), que são chamados de pares ordenados. Essa forma de representação indica que o primeiro número refere-se ao eixo das abscissas (horizontal), e o segundo refere-se ao eixo das ordenadas (vertical).  

Exemplos:

Ponto A (3 , 5) → x = 3 ; y = 5
Ponto B (6 , 3) → x = 6 ; y = 3
Ponto C (-4 , -3) → x = -4 ; y = -3
Ponto D (-6 , 7) → x = -6 ; y = 7
Ponto E (4 , -6) → x = 4 ; y = -6
Ponto F (-5 , -7) → x = -5 ; y = -7

Um conceito importante, relacionado ao Plano Cartesiano é o de Quadrantes. Observamos que os eixos x e y dividem o plano em 4 regiões distintas, numeradas no sentido anti-horário, conforme mostra a figura seguinte.

Se analisarmos cuidadosamente essa figura, perceberemos que:

No 1º Quadrante temos sempre x > 0 e y > 0

No 2º Quadrante temos sempre x < 0 e y > 0

No 3º Quadrante temos sempre x < 0 e y < 0

No 4º Quadrante temos sempre x > 0 e y < 0

Com isso, pelo simples conhecimento de uma coordenada (x , y), podemos saber de antemão a que quadrante esse ponto pertence.

Exemplos:

Ponto 1: (3 , 5) pertence ao 1º Quadrante

Ponto 2: (-3 , -1) pertence ao 3º Quadrante

O Plano Cartesiano é muito utilizado na construção de gráficos de funções, onde os valores relacionados à x constituem o domínio e os valores de y, a imagem da função. A criação do Sistema de Coordenadas Cartesianas é considerada uma ferramenta muito importante na Matemática, facilitando a observação do comportamento de funções em alguns pontos considerados críticos.

Podemos associar o Plano Cartesiano com a latitude e a longitude, temas relacionados aos estudos geográficos e à criação do atual sistema de posicionamento, o GPS. O Sistema de Posicionamento Global permite que saibamos nossa localização exata na terra, desde que tenhamos em mão um receptor de sinais GPS, informando a latitude, a longitude e a altitude com o auxilio de satélites em órbita da Terra. Um exemplo de utilização do GPS são os aviões, que para não se colidirem são monitorados e informados em qual rota devem seguir viagem.

autor: Caetano